Von der Alhambra zu M.C. Escher
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Warum faszinieren uns die kunstvollen Muster der Alhambra oder die verrückten Parkettierungen von M.C. Escher? Die Antwort liegt in der Sprache der Geometrie. Muster schlagen eine Brücke zwischen kreativer Kunst und logischer Wissenschaft. Im Mathematikunterricht sind sie weit mehr als reine Dekoration. Sie helfen Schülerinnen und Schülern, abstrakte Formeln visuell zu begreifen.
Mit Parkettierungen, welche durch Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen erzeugt werden, zieht Kunst in den Mathematikunterricht ein. Die Schülerinnen und Schüler lernen Gesetzmässigkeiten der Mathematik (speziell der Geometrie) auf lustvolle Weise durch Entdecken und Gestalten und experimentieren damit.
Die Alhambra: Wo Geometrie zur Kunst wird
Wer die Alhambra betritt, blickt auf Wände voller Mosaike. Die maurischen Baumeister der Alhambra standen vor einer religiösen und kulturellen Herausforderung. Da bildliche Darstellungen von Menschen und Tieren im sakralen Kontext nicht erlaubt waren, nutzten sie die Geometrie als visuelle Metapher. Die Parkettierungen an den Wänden lassen sich theoretisch endlos fortsetzen und symbolisieren damit in der islamischen Kunst die Unendlichkeit Gottes (Allahs). Dementsprechend zeigt eine Wand lediglich einen kleinen, sichtbaren Ausschnitt aus einer unendlichen göttlichen Ordnung.
All diese Muster entstehen, indem man ein kleines Einzelstück durch Drehung, Spiegelung und Verschiebung flächendeckend aneinanderreiht und damit eine Fläche lückenlos belegt. Sie basieren auf Grundelementen (Kreise und Polygonen) und Symmetrien, die sich endlos über die Wände erstrecken.
Die mathematischen Grundlagen der Alhambra faszinieren Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler bis heute. Was wie reine Dekoration wirkt, ist in Wahrheit ein hochkomplexes System aus euklidischer Geometrie, Proportionslehre und Gruppentheorie.
M. C. Escher war von dieser unendlichen Ordnung wie besessen. Er verbrachte Tage damit, die Kacheln abzuzeichnen. Doch er ging noch einen Schritt weiter als die maurischen Künstler. Er belebte diese Geometrie. Wo in der Alhambra Quadrate, Rauten und Sterne den Raum rhythmisieren, verwandelte Escher die mathematischen Raster in Vögel, Fische, Echsen und Menschen, die nahtlos ineinandergreifen. Aus abstrakter Symmetrie wurde lebendige Kunst.
Mathematik in der Alhambra begreifen
Die Verbindung von Alhambra und Escher bietet den perfekten Einstieg, um Geometrie im Unterricht lebendig, visuell und haptisch erfahrbar zu machen.
Hier ein paar Beispiele dazu:
- Experimentieren mit den 17 Symmetriegruppen (Sek I und Sek II)
Mathematikerinnen und Mathematiker haben bewiesen, dass es in der Ebene genau 17 verschiedene Arten gibt, ein Muster periodisch zu wiederholen (Wandmustergruppen, kristallographische Gruppe). Die Handwerker der Alhambra haben intuitiv alle 17 Symmetriegruppen in ihren Fliesenmustern verwendet.Im Unterricht geben wir den Schülerinnen und Schülern Fotos von verschiedenen Alhambra-Kacheln (oder auch Mustern von M.C.Escher). Ihre Aufgabe ist es nun, die Symmetrieachsen, Spiegelungen, Drehzentren und Verschiebungen (Translationen) zu identifizieren und klassifizieren und allenfalls die Muster weiterzuentwickeln.
Die Knabber-Methode nach Escher (Primar- und Sek-I-Stufe)
Wie konstruiert man eine Figur, die perfekt in sich selbst greift?
Jedes Kind startet mit einem quadratischen Pappkärtchen. An einer Seite wird eine beliebige Form herausgeschnitten (z.B. eine Welle) und genau gegenüberliegend wieder angeklebt. Das Prinzip kann auch auf die anderen beiden Seiten angewendet werden. Dabei entsteht eine Schablone. Die Kinder staunen, wenn sie merken, dass sich diese neue Form unendlich oft lückenlos aneinanderreihen lässt. In einem nächsten Schritt könnten die Formen als Tiere oder Fabelwesen angemalt werden.
- Digitale Parkettierung mit GeoGebra (5. Klasse bis Sek II)
Die Kombination aus traditioneller Kunst und digitalen Methoden fördert das algorithmische Denken.
Mit Hilfe von GeoGebra konstruieren die Schülerinnen und Schüler eigene dynamische Parkettierungen. Sie nutzen dafür Schieberegler, um Vektoren für Verschiebungen oder Punkte für Drehungen zu definieren. So wird mathematisch exakt sichtbar, wie sich aus der fundamentalen Ausgangsform (dem Initial-Polygon) durch mathematische Operationen eine lückenlose Parkettierung bilden lässt.
Warum dieses Thema in den Unterricht gehört?
Viele Schülerinnen und Schüler empfinden Mathematik als langweilig. Dass dem nicht so sein muss, zeigt die Auseinandersetzung mit den orientalischen Mustern und die Verknüpfung mit M.C. Escher wunderbar auf:
- Mathematik ist universell: Sie verbindet Epochen – in unserem Beispiel das 14. Jahrhundert in Spanien mit dem 20. Jahrhundert in den Niederlanden.
- Mathematik ist kreativ: Sie ist das Fundament weltberühmter Kunstwerke (z.B.: das letzte Abendmahl von Leonardo da Vinci)
- Mathematik ermöglicht fehlerfreundliches Entdecken: Beim Zeichnen und Legen von Mustern entwickeln Schülerinnen und Schüler ein intuitives Verständnis für Achsensymmetrie, Punktspiegelung und Kongruenz, das kein Lehrbuchtext so nachhaltig vermitteln kann.
Fazit: Wenn wir Schülerinnen und Schülern zeigen, wie Escher die Alhambra sah, öffnen wir ihnen die Augen für die unsichtbaren Zusammenhänge und Verknüpfungen sowie für die Schönheit der doch so «trockenen» Mathematik.
Weiterbildungsangebote
Literaturempfehlung
- Ortega M. An Introduction to the mathematics in the Alhambra of Granada
https://preview.ems.press/content/serial-article-files/50520 - Fernandez Morales F., Valderrama Ramos J., et al. The mathematical Alhambra
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